如图,在等腰直角△ABC中,AB=BC,点E在AB上,DE⊥AC,DE交AC于点D,M是EC的中点,求证:(1)BM=DM;(2)BM⊥DM

Question

如图,在等腰直角△ABC中,AB=BC,点E在AB上,DE⊥AC,DE交AC于点D,M是EC的中点,求证:(1)BM=DM;(2)BM⊥DM

Answer 1

证明：
∵DE⊥AC
∴∠EDC=∠EBC=90°
∵M是CE的中点
∴BM=1/2CE=CM
DM=1/2CE=CM（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴BM=DM
∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD
∵∠BME=∠MBC+∠MCB=2∠MCB
∠DME=∠MDC+∠MCD=2∠MCD
∴∠BMD=∠BME+∠DME=2∠MCB+2∠MCD=2∠ACB
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴∠A=∠ACB=45°
∴∠BMD=2∠ACB=90°
即BM⊥DM