不等式x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈ （-1，+∞）恒成立

Question

求实数m的取值范围

Answer 1

令f(x)=x^2+(1-m)x+1
考察x=(m-1)/2,为了方便书写，我在这就直接用T表示它
当T≤-1，即m≤-1时，只要f(-1)≥0即可，此时m≥-1
所以m=-1
当T>-1时，即m>-1时，只要f((m-1)/2)>0即可，此时-1<m<3
综上，-1≤m<3

Answer 2

因为不等式的图像开口向上，所以当b^2-4ac<0时，x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈R恒成立。
接下来只要考虑b^2-4ac=0和b^2-4ac>0的情况。
1、当b^2-4ac=0，即(1-m)^2-4=0，解得m=-1或m=3，m=3时不符合题意，故舍去，只取m=-1。
2、当b^2-4ac>0，即(1-m)^2-4>0，解得m<-1或m>3。此时不等式的图像与X轴有两个交点，分别设为X1、X2（X1>X2)，且X1*X2=1，X1+X2=m-1。由X1*X2=1可知，X1<0，X2<0。
要使不等式x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈ （-1，+∞）恒成立，则有
X1=[-b+√(b^2-4ac)]/(2a)=[m-1+√(m^2-2m-3)]/2≤-1
解不等式[m-1+√(m^2-2m-3)]/2≤-1得m≥-1。
由此可知，m<-1和m>3应舍掉m<-1，取m>3。
综上1、2所述， 可知m的取值范围为：m=-1或m>3。
公式很不好打啊……你将就看，自己再算一遍也成，以免我粗心犯错。

Answer 3

x²+(1-m)x+1>0
x²+2x+1+(1-m)x-2x>0
(x+1)²-(m+1)x>0
(x+1)²>=0, -(m+1)x>0, (m+1)x<0
当-1<x<0, m+1>0, m>-1
当x=0, 原式恒成立，m∈R
当x>0, (1-m)²-4=m²-2m-3=(m+1)(m-3)<0, -1<m<3

Answer 4

不等式可变型为：
(x+1/2)²+（-mx+3/4）>0
结合x的解集，可判定(x+1/2)²>=0的
由题意知，不等式恒成立
则-mx+3/4恒大于零，即可满足题意
即-mx+3/4>0
即mx<3/4对于x∈ （-1，+∞）恒成立
当x取最小值时，即x=-1时
得-m<3/4
即m>-3/4
不等式恒成立的话，即m必须小于0
综上得-3/4<m<0,不等式恒成立

Answer 5

设f(x)=x^2+(1-m)x+1>0，由题意可知
f(-1)=0，即m＞-1；
f’(-1)＞0，m＜0；
所以m的取值范围为-1＜m＜0.

Answer 6

x²+x-mx+1>0
(x+1/2)²-mx+3/4>0
因为（x+1/2）²>0
-mx+3/4>或等于0即可，x最小接近-1，当x=-1时，m=-3/4
所以当M<-3/4时不等式恒成立