已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f（1/2）=1，对于x，y属于（0，+∞），当且仅当x

Question

已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f（1/2）=1，对于x，y属于（0，+∞），当且仅当x＞y时，f（x）＜f（y）.若f（-x）+f（3-x）≥-2 求x的取值范围

Answer 1

f（-x）+f（3-x）≥-2
f[-x*(3-x)]+2>=0
f(x^2-3x)+2>=f(1)
f(x^2-3x)+f(1/4)>=f(1)
f(1/4*(x^2-3x))>=f(1)
1/4(x^2-3x)<=1
x^2-3x<=4
x^2-3x-4<=0
(x-4)(x+1)<=0
-1<=x<=4
定义域为-x>=0U3-x>=0,则x<=0
取交得-1<=x<=0

Answer 2

f(xy)=f(x)+f(y),
∴f(1)=2f(1),f(1)=0,
f（1/2）=1,
f(2)+f(1/2)=f(1)=0,
∴f(2)=-1,
f(4)=2f(2)=-2,
对于x，y属于（0，+∞），当且仅当x＞y时，f（x）＜f（y）,
∴f(x)↓，
∴f（-x）+f（3-x）≥-2，化为
{-x>0,3-x>0,f[-x(3-x)]>=f(4)},
又化为{x<0,x^2-3x-4<=0},
解得-1<=x<0.

Answer 3

f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
定义域 x<0
f(1)=f(1/2)+f(2)=0
所以 f(2)=-1
f(4)=f(2)+f(2)=-2
所以 f(-x)+f(3-x)≥f(4)
f(x²-3x)≥f(4)
x²-3x≤4
解得 -1≤x≤4
结合定义域
-1≤x<0

Answer 4

解：
条件一：
因为f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，故，要使f（-x），f（3-x）两式子有意义，x必须小于0
条件二：
3=1+1+1=f（1/2）+f（1/2）+f（1/2）=f（1/4）+f（1/2）=f（1/8）（因为1/2>0，满足f(x)定义和f(x)的性质：f(xy)=f(x)+f(y)）
条件三：
同理：f（-x）+f（3-x）=f（x^2-3x）≥-2
不等式两边同时加上3得：
f（x^2-3x）+f（1/8）≥1=f（1/2）
即：f（1/8x^2-3/8x））≥f（1/2）

当f（1/8x^2-3/8x））=f（1/2）时，由于f（x）的定义是x>0，以及条件对于x，y属于（0，+∞），当且仅当x＞y时，f（x）＜f（y）可知f（x）是x正轴上的严格单调递减函数。
故：1/8x^2-3/8x=1/2，解得：x=-1（正4的解由于条件一故去掉了）
当f（1/8x^2-3/8x））不等于f（1/2）时，由已知条件对于x，y属于（0，+∞），当且仅当x＞y时，f（x）＜f（y）得：
1/8x^2-3/8x<1/2，
解得：-1<x<0（注意，同样由于条件一的缘故，x不能大于0）
综上所述，本题的答案是x的取值范围是：[-1，0）

Answer 5

解：
（1） ∵ 正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立
又 ∵ f(1/2)=1
∴ f(1/2)=f(1*1/2)=f(1)+f(1/2)=1
∴ f(1)=0
（2）令0＜x1＜x2＜+∞
由题已知f(xy)=f(x)+f(y)恒成立，以及（1）中f(1/2)=1， f(1)=0，可得，f(x)=log(1/2)（x） (以1/2为底x的对数)
∵ a=1/2，0＜1/2＜1，则f(x1)-f(x2)=log(1/2)(x1/x2)＞0
∴ 函数f(x)在（0，+∞）上是减函数。
（3）∵ f(x)+f(x-3/4)＜2
即 log(1/2)(x)+log(1/2)(x-3/4)=log(1/2)[x*(x-3/4)]=log(1/2)(x²-3x/4)＜2
∴ x²-3x/4＞(1/2)²
(x-3/8)²＞1/4+9/64=25/64
∴ x-3/8＜-5/8 或 x-3/8＞5/8
即 x＜-1/4 或 x＞1

Answer 6

解：易知f(x)为单调递减函数，且x>0
由f(xy)=f(x)+f(y)有
f(1)=2f(1)=f(2)+f(0.5)=0
故 f(2)=-1，f(4)=2f(2)=-2
原式化为
f(-x*(3-x))>= f(4)
有-x*(3-x)<=4,解得-1<=x<=4,又-x>0
故-1<=x<0