如图，已知直角三角形ABC，（Ⅰ）试作出经过点A，圆心O在斜边AB上，且与边BC相切于点E的⊙O及切点E和圆心

Question

如图，已知直角三角形ABC，（Ⅰ）试作出经过点A，圆心O在斜边AB上，且与边BC相切于点E的⊙O及切点E和圆心O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作的⊙O与边AB交于异于点A的另一点D．求证：（1）DEAE＝DEBE；（2）EC?BE=AC?BD．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：如图所示；

（Ⅱ）证明：连接DE，则∠AED=90°，
（1）∵∠4=∠2
∠B=∠B
∴△BDE∽△BEA
∴

DE

AE

＝

BD

BE

；（5分）

（2）∵BC切⊙O于E，
∴OE⊥BC．
又∵AC⊥B，
∴OE∥AC．
∴∠1=∠3．
又易知∠2=∠3，
∴∠1=∠2．
又∵∠C=∠AED=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△AED．
∴

EC

AC

＝

DE

AE

．（7分）
又由（Ⅰ）知，

DE

AE

＝

BD

BE

，

EC

AC

＝

BD

BE

，
∴EC?BE=AC?BD．（8分）