如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧

Question

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径R＝5，EF＝3，求DF的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）6.

试题分析：（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程 ，求出即可．
试题解析: (1)证明：连结OA、OD，

∵D为下半圆BE的中点，
∴∠BOD=∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，
∵OA为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O半径是r，∴OD=r，OF=8﹣r，
又∵在Rt△DOF中，OD 2 +OF 2 =DF 2 ,
∴ ，
解得， ， ，
当 时，OF= （符合题意），
当 时，OF= （不合题意，舍去），
∴⊙O的半径r为6.
考点: 切线的判定.

Answer 2

（1）证明：
连接OA、OD,
∵D为弧BE的中点,
∴OD⊥BC,
∠DOF=90°,
∴∠D+∠OFD=90°,
∵AC=FC,OA=OD,
∴∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,
∵∠CFA=∠OFD,
∴∠OAD+∠CAF=90°,
∴OA⊥AC,
∵OA为半径,
∴AC是⊙O切线；
∵⊙O半径是r,
∴OD=r,OF=8-r,
在Rt△DOF中,r2+（8-r）2=（
40
）2,
r=6,r=2（舍）；
即⊙O的半径r为6．