（2014?南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E

Question

（2014?南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为______．

Answer 1

解：如图，连接OE、OF，
∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面积可知

1

2

×AC×BC=

1

2

×AC×OE+

1

2

×BC×OF，
∴OE=OF=

1

2

a=EC=CF，BF=BC-CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵由切割线定理可得BF²=BH?BG，
∴

1

4

a²=BH（BH+a），
∴BH=

?1+ 2

2

a或BH=

?1? 2

2

a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴

OE

OH

=

BD

BH

，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+

?1+ 2

2

a=

1+ 2

2

a．
故答案为：

1+ 2

2

a．