已知，如图，在R t△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D ． （1）以 AB 边上一点

Question

已知，如图，在R t△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D ． （1）以 AB 边上一点 O 为圆心，过 A ， D 两点作⊙ O （不写作法，保留作图痕迹），再判断直线 BC 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙ O 与 AB 边的另一个交点为 E ，半径为2， AB ＝6，求线段 AD 、 AE 与劣弧 DE 所围成的图形面积．（结果保留根号和 ）

Answer 1

如图：

（1）作AD的垂直平分线交AB于O。以O为圆心，OA（OD）为半径作圆，即为所求圆O。

BC与圆O相切；

证明：<CAD=<BAD 

OA=OD  OAD为等腰三角形, <BAD=<ADO

所以: <CAD=<ADO     OD平行AC

OD垂直BC     所以BC相切于圆O.\

(2)   在 R t△ BOD 中,   OD=2   OB=6-2=4

<B=30度        <DOE=60度    

所以有:    AD= 2√3

扇形DOE=六分之一圆

线段 AD 、 AE 与劣弧 DE 所围成的图形面积=三角形OAD面积+六分之一圆面积

=√3+2Л/3

Answer 2

（1） BC 是⊙ O 的切线 （2）

试题分析：解：（1）如图，作 AD 的垂直平分线交 AB 于点 O ， O 为圆心， OA 为半径作圆。   判断结果： BC 是⊙ O 的切线． 连结 OD ．  ∵ AD 平分∠ BAC    ∴∠ DAC =∠ DAB   ∵ OA = OD    ∴∠ ODA =∠ DAB ∴∠ DAC =∠ ODA ∴ OD ∥ AC      ∴∠ ODB =∠ C ∵∠ C =90 º    ∴∠ ODB =90º  即 OD ⊥ BC ∵ OD 是⊙ O 的半径      ∴ BC 是⊙ O 的切线。 （2）如图 ∵ r =2    ∴ OB =4    ∴∠ OBD =30º，∠ DOB =60º ∵S △ ODA = S 扇形 ODE =   ∴S 阴影部分 = 点评：该题较为简单，是常考题，主要考查学生对角平分线和圆的性质，以及对扇形面积公式的应用。

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Answer 3

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解：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．

判断结果：BC是⊙O的切线．

如图2，连接OD．

∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAB

∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C，

∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，

即：OD⊥BC

∵OD是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线．

（2）如图3，过点O作OF⊥AD于点F，

∵r=2，AB=6，

∴OB=4，再由DO=2，OD⊥BC，

∴∠OBD=30°，∠DOB=60°，

∵OE=OD，

∴△EOD为等边三角形，

即可得出∠OAD=∠ODA=30°，

∴FO=0.5AO=1，

∵AE=4，

∴DA=cos30°AE= 2根号3 ，

∵△ADO的面积为0.5×AD×2根号3= 根号3 ，

扇形ODE的面积为60/ 360 ×π×22＝2 /3 π，

∴阴影部分的面积为：根号3 +2根号3π

、

Answer 4