由以下已知调和函数求解析函数f(z)=u +iv u = 2(x-1)y ,f(2)=-i

Question

由以下已知调和函数求解析函数f(z)=u +iv u = 2(x-1)y ,f(2)=-i 解答如图
过程前部分都明白，但是不明白f(z)=u+iv = 2(x+1)y+i(y^2 -(x-1)^2+c) 怎么变成只含未知数z的函数，求高手帮忙~越详细越好谢谢！！

Answer 1

可能你只是忘了还可以用z的共轭，为了输入方便，写成z*（但这不是通用记号）。
现在z=x+iy，z*=x-iy，
所以x=(z+ z*)/2，y=(z-z*)/(2i)，带回去，如果v积对了的话（再加上区域单连通），结果应该是不带z*的。追问

那么除了共轭还有别的方法吗 ？小妹愚笨，算不出来额- -！或者你有没有什么好点的算法？。。那个V应该没有错的，参考答案来的。。。

追答

呃，其实这个计算不是特别麻烦啊，至多就是一个二次的东西拆括号……

要不然你也可以用
f'(z)
=u_x + i v_x
=u_x - i u_y （其中v_x=-u_y是f解析的条件，Cauchy-Riemann方程的一个）
=2y-2i(x-1)
=-2i(x+iy)+2i
=-2iz+2i，其中u_x是u对x的偏导数，其余类似；
然后直接把z当实的来积分，得到f(z)=-iz^2+2iz+C，再用,f(2)=-i 来定C。