u(x,y)=x^2-y^2为调和函数,求一解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),使f(0)=i..各路大神急救啊啊啊~~~

Question

如题所述

Answer 1

u对x的2次偏导数=2，u对y的2次偏导数=-2，所以这两项相加=0，即u满足拉普拉斯方程，u是调和函数。

f(i)=-1+i，f(z)=z-1=x-1+yi(x-1)对x偏导数=1=y对y偏导数；y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数，所以f是z上的解析函数。

调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。

扩展资料：

调和函数的性质：

在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。

如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。

在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。

收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。