一道复变函数题,由下列已知调和函数求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y...

Question

一道复变函数题, 由下列已知调和函数求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).并写成关于z的表达式 v(x,y)=arctan(y/x),x＞0. v(x,y)=arctan(y/x),x＞0. ∂u/∂v=∂v/∂y=x(x^2+y^2) 由此得u(x,y)=∫xdx/(x^2+y^2)=1/2ln[(x^2+y^2)/y^2]+c(y) c(y)为y的任一可导函数. 又由∂u/∂y=-∂v/∂x得-x^2/[y(x^2+y^2)]+c'(y)=y/(x^2+y^2) c'(y)=1/y c(y)=ln|y|+c 代入u(x,y)表达式得 u(x,y)=ln√(x^2+y^2)+c 于是满足条件的解析函数为f(z)=(ln√(x^2+y^2)+c)+iarctan(y/x),x＞0 注意当x＞0时,argz=arctan(y/x) 所以f(z)=ln|z|+iargz+c c为任一实数 就这步由此得u(x,y)=∫xdx/(x^2+y^2)=1/2ln[(x^2+y^2)/y^2]+c(y) 没那分母的y^2还算不出最后答案了,可分母的y^2从哪来的啊,高数学的积分没这样积的!就是1/2ln(x^2+y^2)+c(y)

Answer 1

没有分母的y^2更容易,明显上面的做法使得问题复杂了.au/ax=x/(x^2+y^2),则u＝0.5ln(x^2+y^2)+c(y),再由au/ay=－av/ax,得c'(y)=0,因此c(y)=C.C是常数.故u＝0.5ln(x^2+y^2)+C.