这个矩阵的特征值位怎么求啊

Question

如题所述

Answer 1

在求解矩阵特征值的过程中，我们通常遵循的步骤是，首先构建矩阵A减去λ乘以单位矩阵E，即A-λE。然后，我们会将这个表达式设置为零，即|A-λE|=0。具体到这个问题，给定的矩阵是这样的：

\[\begin{pmatrix}
-λ & 2 & 2\\
2 & 4-λ & 4\\
-2 & 4 & -3-λ
\end{pmatrix}\]

我们需要求解这个矩阵的行列式，使其等于零，即求解下面这个方程：

\[\begin{vmatrix}
-λ & 2 & 2\\
2 & 4-λ & 4\\
-2 & 4 & -3-λ
\end{vmatrix} = 0\]

这个方程会给我们一个关于λ的多项式，解这个多项式就可以得到矩阵A的特征值。通过计算行列式，我们可以进一步展开这个方程，简化后得到特征值λ的具体数值。

这个过程涉及到了行列式的计算和多项式的求解，是线性代数中的基本操作。在实际计算中，对于3阶矩阵，通常会采用行列式的定义进行展开，即通过展开第一行（或第一列）来计算行列式的值。

行列式的计算公式为：

\[-λ \begin{vmatrix}
4-λ & 4\\
4 & -3-λ
\end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix}
2 & 4\\
-2 & -3-λ
\end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix}
2 & 4-λ\\
-2 & 4
\end{vmatrix}\]

通过计算上述行列式，我们可以进一步简化方程，解出λ的具体值。这个过程可以手动计算，也可以使用计算机软件辅助完成。

求解特征值是理解矩阵性质的重要步骤，它对于后续的矩阵对角化、特征向量的求解等问题具有重要意义。