求不定积分∫（arc tanx/1+x^2) dx的详细过程！

在有些解题步骤中= ∫ (x/1+x^2) dx + ∫ arc tanx d(arc tanx)，∫ arc tanx d(arc tanx)是凑微分这个我明白，但为什么多出一个∫ (x/1+x^2) dx ？这个是怎么得到的？
分数不多，请各位兄台帮帮忙！

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推荐答案 2012-09-24

把原式拆成两部分，
原式=∫（1+x^2)arctanxdx/(1+x^2)-∫arctanxdx/(1+x^2),
=∫arctanxdx-∫arctanxdx/(1+x^2),
前部分用分部积分，后部分用凑积分，
对：∫arctanxdx
设u=arctanx,v'=1,
u'=1/(1+x^2),v=x,
∫arctanxdx=xarctanx-∫xdx/(1+x^2)
=xarctanx-(1/2)∫d(1+x^2)/(1+x^2)
=x*arctanx-(1/2)ln(1+x^2)+C1,
后部分∫arctanxdx/(1+x^2)=∫arctanxd(arctanx)
=(1/2)(arctanx)^2,
∴原式=x*arctanx-(1/2)ln(1+x^2）-(1/2)(arctanx)^2+C。

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第1个回答 2012-09-23

∫（arc tanx/1+x^2) dx
=∫ arctanxdarctanx
=(1/2)arctan²x + C

你写的那部分内容一定不是这道题。追问

非常感谢，烦请帮忙看下原题图片，这是辅导教材的例题解答过程，为什么会多出(x/1+x^2) dx ，一直想不明白怎样得到这一步？

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