高二数学题（求详解）
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若FA=2FB求椭圆的离心率
2.过椭圆x²+2y²=2的一个焦点F（-1,0）作一直线，交椭圆于P,Q两点，O为坐标原点，求：△OPQ的面积的最大值
1、作椭圆左准线l，交作垂线AA1⊥l，BB1⊥l,垂足分别为A1、B1，作BH⊥AA1，H为垂足，
根据椭圆第二定义，
|AF1|/|AA1|=|BF1|/|BB1|=e,
|AF1|/|BF1|=|AA1|/|BB1|=2,
∴|AA1|=2|BB1|，
∵|A1H|=|BB1|，
∴|AA1|=2|A1H|，
∴H是AA1的中点，
|AH|=|BB1|，
〈HAB=〈AF1O=60°，
∴|AH|/|AB|=cos60°=1/2，
|BF1|=|AB|/3，
|BB1|/（3BF1|=1/2，
1/（3|BF1||/BB1|）=1/2，
1/3e=1/2,
∴e=2/3.
2、作OM⊥PQ，垂足M，
根据过焦点弦长公式，
|PQ|=(2b^2/a)/[1-(ecosθ）^2],(用第二定义很容易证明），
其中θ为焦点弦与X轴成角，
椭圆方程为：x^2/2+y^2=1,
a=√2，b=1,c=1,
e=c/a=√2/2，
∴|PQ|=（2*1/√2）/[1-（cosθ)^2/2]
=2√2/[2-（cosθ)^2],
|OM|=|OF1|*sinθ=sinθ,
∴S△PQO=|OM|*|PQ|/2=√2sinθ/[1+1-（cosθ)^2]
=√2sinθ/[1+(sinθ)^2],
令sinθ=t,-1≤t≤1,
S=√2t/(1+t^2),
St^2-√2t+S=0,
当判别式△=2-4S^2≥0，
S^2≤1/2,
-√2/2≤S≤√2/2，
S(max)=√2/2，
此时,
√2/2=√2t/(1+t^2),
(t-1)^2=0,
t=1,
sinθ=π/2，
即PQ垂直X轴时，三角形POQ面积最大，此时|PQ|却最小。
带入x^2/a^2+y^2/b^2=1 ，在根据a^2=b^2+c^2
得离心率e=c/a=2/3
2.S△OPQ=S△OPF+S△OQF=1/2*OF*(|y1|+|y2|)=1/2*(|y1|+|y2|)
求S△OPQ的最大值，即求|y1|+|y2|的最大值
根据PQF在一条直线上，得当|y1|=|y2|时|y1|+|y2|最大，此时x1=x2=-1
带入有S△OPQ最大=根号2/2本回答被网友采纳
x²+2y²=2 根据两方程求解 求得 P Q 两坐标点 下一步自己做
解：作准线与x轴交点为M，过B准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E．
设|AB|=3t，因为|FA|=2FB|，则|BF|=t，|AF|=2t，
|因为AB倾斜角为60°，所以∠ABH=30°，则|AH|=
3/2|AB|=3/2 t，
|AH|=2/e t-1/e t=1/e t=3/2 t，
所以e=2/3，
故答案为2/3．
由焦半径公式及三角函数得:
｜AF｜=a+exA=(XA+c)/cos60度 (1)
｜BF｜=a+exB=（-XB-c)/cos60度 (2)
由(1) XA=(2c-a)/(e-2) 由(2) xB=-(2c+a)/(e+2)
xA+xB=(8c-2ae)/(e^2-4) (3)
因为｜FA｜＝2｜FB｜ 所以a+exA=2( a+exB) 2XA+2c=2 (-2XB-2c ) 可得
xA+xB=(a-9ce)/(4e) (4)
由(3) (4) (8c-2ae)/(e^2-4)=(a-9ce)/(4e) 两边除以a
(8e-2e)/(e^2-4)=(1-9e^2)/(4e)
整理得 9e^4-13e^2+4=0
分解得(e^2-4/9)(e^2-1)=0
e^2-4/9=0,解得e=2/3 e=-2/3(舍去) e=1或e=-1(因0<e<1,舍去)
所以e=2/3
x²+2y²=2
AB倾斜角为60°，所以∠ABH=30°，则|AH|=
3/2|AB|=3/2 t，
|AH|=2/e t-1/e t=1/e t=3/2 t，
所以e=2/3，
故答案为2/3．