高二数学题,求详解

Question

从定点A(6,8)向圆x^2+y^2=16任意引一割线，交圆于P1,P2两点，求弦P1，P2的中点轨迹。

Answer 1

解：设割线OP1P2的直线方程为y=kx代入圆的方程，
得：x2+k2x2-2x-4kx+4=0
即（1+k2）x2-2（1+2k）x+4=0
设两根为x1，x2即直线与圆的两交点的横坐标；
由韦达定理得：
x1+x2=
2(1+2k)
1+k2
又设P点的坐标是（x，y）
P是P1P2的中点，所以x=
x1+x2
2
=
1+2k
1+k2
又P点在直线y=kx上，
∴k=
y
x
，代入上式得x=
1+2yx
1+(yx)2
两端乘以1+(
y
x
)2，得x+
y2
x
=1+2
y
x
即x2+y2=x+2y
(x-
1
2
)2+(y-1)2=
5
4
这是一个一点(
1
2
，1)为中心，以
5
2
为半径的圆，
所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧．

Answer 2

利用弦中点到圆心的直线与弦垂直的特性。
设P1,P2的中点坐标为Q（x,y），经过A，Q两点的直线为
y = kx + b (1)
由A点坐标可知有
8 = 6k + b (2)
再设圆心为O，圆心在原点，故O（0，0）,
直线 QO经过圆心，且与直线QA垂直，故QO的斜率为 -1/k，也即QO的方程为
y = -x/k (3)
（1）（2）（3）连立，消掉 k, b，可得
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25
也即中点轨迹是一条圆弧，圆弧的端点，可以通过连立两个圆方程求解，或者经过A的直线与圆O的两条切线切点。