已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB=4,S△COD=9，则四边形ABCD的面积S的最小值为
已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB=4,S△COD=9，则四边形ABCD的面积S的最小值为
（尽量从构造方程的角度去解）
解：根据你的题，作图只能是如下的样子。
这里我要先告诉你一个定理：梯形被对角线分成的四部分面积中，图中左右两块面积是相等的(很容易证明的)。且有S²＝S1×S2.
代入数值解得：S＝6
∴梯形ABCD的面积是：S＋S＋S1＋S2＝25
如果你不知道那个定理，作题就非常麻烦了。这个定理的证明也不难，你想知道的话，我告诉你。我的邮箱是：[email protected]
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第1个回答 2009-11-17
设OA=x,OC=y
△OAB与OBC等高,△OAD与OCD等高
则有S△OCB=(y/x)*S△AOB=4y/x
S△OAD=(x/y)*S△COD=9x/y
四边形ABCD的面积S=S△AOB+S△COD+S△OCB+S△OAD
=4+9+4y/x +9x/y
=13+4y/x +9x/y
≥13+2√(4y/x *9x/y)=13+12=25
当4y/x=9x/y,即2y=3x时取到最小值为25
△OAB与OBC等高,△OAD与OCD等高
则有S△OCB=(y/x)*S△AOB=4y/x
S△OAD=(x/y)*S△COD=9x/y
四边形ABCD的面积S=S△AOB+S△COD+S△OCB+S△OAD
=4+9+4y/x +9x/y
=13+4y/x +9x/y
≥13+2√(4y/x *9x/y)=13+12=25
当4y/x=9x/y,即2y=3x时取到最小值为25
第2个回答 2019-10-23
设AD=m,BC=n
S=(m+n)(8/m+18/n)/2=13+4n/m+9m/n
大于等于13+根号36
=13+6=19
面积最小19
S=(m+n)(8/m+18/n)/2=13+4n/m+9m/n
大于等于13+根号36
=13+6=19
面积最小19
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