分块矩阵的行列式怎么求

Question

如题所述

Answer 1

划线部分就是把行列式按最后一行展开的结果一般来讲分块上（下）三角矩阵的行列式可以对对角块分别求行列式再相乘，当然前提是对角块都是方阵，这个可以用Laplace展开或者行列式乘积定理证明，你要把证明搞懂，而不是背结论

Answer 2

先假定A非奇异
利用块Gauss消去法可得
A B
C D
->
A B
0 D-CA^{-1}B
所以行列式是|A||D-CA^{-1}B| = |AD-ACA^{-1}B|
利用交换性得结论.

对于A奇异的情况, 把A换成矩阵多项式A+tI, 这样就可以用上述结论得到|(A+tI)D-CB|
注意该行列式是关于t的多项式, 要证明的式子在t=0的时候取, 相当于是多项式的常数项, 所以直接把t=0代进去就得到结论.