在抛物线 y 2 ＝4x上恒有两点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的范围

Question

在抛物线 y 2 ＝4x上恒有两点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的范围．

Answer 1

试题分析：设B,C关于直线 对称，根据直线垂直斜率之积等于 ，可知直线AB的斜率为 ，但这样就会有一个弊端，也就是当直线l斜率为0时，直线AB的斜率就不存在了，所以这时就需要讨论。为了省去讨论的麻烦可直接将直线AB方程设为 ，设出B,C坐标可得出中点M的坐标，由对称性可知中点M恒在直线l上，代入方程得到方程 ，用k表示出m，还是有对称性可知中点M恒在抛物线内部，得到不等式 ，代入 代入即可得出k的范围。 试题解析：设B,C关于直线 对称，直线BC方程为 ，代入y 2 ＝4x，得 。设 ，B,C中点 ，所以 ，因为 在直线 上，所以 ，整理得 ，因为 在抛物线y 2 ＝4x内部，则 ，把m代入化简得 ，即 ，解得