问题:已知抛物线Y2=X上存在两点关于直线L：Y=k(x-1)+1对称，求实数K的取值范围

Question

我不要复制的 我看也了下前人问的 那回答的人看错了题 解题时尽量的写详细 分大大地有
我是问K的取值范围你也看错题了

Answer 1

直线L：Y=k(x-1)+1
k≠0时，设与L垂直的直线L':y=-1/kx+m
y=-1/kx+m与y²=X联立，消去x得：
y=-1/ky²+m即y²+ky-km=0
Δ=k²+4km>0
设L'交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)
A,B中点M(x0,y0), A,B关于L对称
则2y0=y1+y2=-k,y1y2=-km
∴ y0=-k/2,x0=k²/2+km
M点在L上，
∴-k/2=k(k²/2+km-1)+1
∴k/2=k³/2+k²m+1
∴k²m=k/2-k³/2-1
∴km=1/2-k²/2-1/k代入Δ>0
∴k²+ 2-2k²-4/k>0
∴ -2+k²+4/k<0
∴(k³-2k+4)/k<0
(k+2)(k²-2k+2)/k<0
∵k²-2k+2>0恒成立
∴（k+2)/k<0
解得-2<k<0
k=0时，L与x轴平行，符合条件的点不存在
综上，k的取值范围是-2<k<0追问

∴(k³-2k+4)/k<0
(k+2)(k²-2k+2)/k<0 请问这两部是怎么变形的

追答

我用的是试根的方法
k³-2k+4的零点是4约数：±1，±2，±4
试出有1个零点为-2
那么k³-2k+4就可以分解出因式(k+2)
设（k³-2k+4）=(k+2)(k²+mk+2)
展开得到m=-2
因此k³-2k+4=（k+2)(k²-2k+2)

Answer 2

设抛物线上存在不同的点P1(x1,y1), P2(x2,y2)关于直线L: y=k(x-1)+1对称
线段P1P2的中点为M(x0,y0), 则x1+x2=2x0, y1+y2=2y0
且y1²=x1, y2²=x2
两式相减得(y1-y2)/(x1-x2)=1/(y1+y2)=1/(2y0)
∴k(P1P2)=1/(2y0)
∵P1P2⊥L
∴k(P1P2)=-1/k
∴1/(2y0)=-1/k
y0=-k/2
又M(x0,y0)在直线L: y=k(x-1)+1上
∴y0=k(x0-1)+1
∴-k/2=kx0-k+1
x0=1/2-1/k
∵点M(x0,y0)在抛物线内部
∴x0>y0²
即1/2-1/k>k²/4
整理得
(k³-2k+4)/k<0

(k+2)(k²-2k+2)/k<0
∵k²-2k+2=(k-1)²+1恒大于0
∴(k+2)/k<0
∴-2<k<0即为所求

Answer 3

图画的不太好啊。。嘻嘻

y^2=x 上有两点关于直线l对称， l过定点（1,1）

设（t^2,t）(q^2,q)在y^2=x上，且关于直线对称

则有①((t^2+q^2)/2,(t+q)/2)在l上<中点在对称轴上>且 ②过两点的直线与l垂直

条件②，有(q-t)/(q^2-t^2)=—1/k 即 q=-k-t （*）

条件①，有(t+q)/2 = k((t^2+q^2)/2-1)+1 (*)式代入化简得

2kt^2+2k^2 t+k^3-k+2=0

 

原问题化为求上方程有非负解（t>=0）时k的取值范围。

令F（t）=2kt^2+2k^2 t+k^3-k+2

a=2k  a>0,即k>0时，只需F(0)=k^3-k+2<=0 不存在k满足条件

          a<0,即k<0时，只需F(0)=k^3-k+2>=0 恒成立。

          k=0时由图知显然不成立

故K>0

还有根据判别式知道K》-2。。。漏了

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不会的再问哈~

祝学数学愉快~

Answer 4

求解如下