求（1+x-x²-x³）∧5的展开式中含有x³项的系数

Question

如题所述

Answer 1

可用二项式定理来求，把其中两项看成一项去求。
也可用排列组合思想求解。展开式中x^5项可以这样产生：两个x²项和一个x相乘；或一个x²和三个x相乘；或五个x相乘。
由两个x²项和一个x相乘得到的x^5项系数为c(6,2)c(4,1)(-1)²=60（其中c是组合数）；
由一个x²和三个x相乘得到的x^5项系数为c(6,1)c(5,3)(-1)=-60；
由五个x相乘产生的x^5的系数为c(6,5)=6。
于是，展开式中x^5的系数为6。

Answer 2

(1+x-x²-x³)^5
=(1+x)^5·(1-x²)^5
展开式中，有两项为x³项。
即
C(5,1)x·C(5,1)·(-x²)+C(5,3)x³·1
=-25x³+10x³=-15x³
(1+x)^10·(1-x)^10
=(1-x²)^10
T5=C(10,4)(-x²)⁴,
故x^8的系数为C(10,4)=210
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