不定积分x/((x^2+x)^(1/2))

Question

如题所述

Answer 1

这道题的关键是恒等变形:
∫x/((x^2+x)^(1/2))dx
=1/2∫(x^2+x)'/(x^2+x)^(1/2)dx-1/2∫1/(x^2+x)^(1/2)
=1/2∫1/(x^2+x)^(1/2)d1/(x^2+x)^(1/2)-1/2∫1/(x^2+x)^(1/2)
=(x^2+x)^(1/2)①-1/2∫1/(x^2+x)^(1/2)②
对于不定积分②根号下式子配方得到:
-1/2∫1/(x^2+x)^(1/2)
=-1/2∫1/[(x+1/2)^2-1/4]dx
设t=x+1/2
则dx=dt
不定积分式②变为:
-1/2∫1/[t^2-（1/2）^2]^(1/2)dt
=-1/2ln│t+(t^2-1/4)^(1/2)│+C(基本积分表)
=-1/2ln│x+1/2(x^2+x)^(1/2)│+C
故∫x/((x^2+x)^(1/2))dx
=(x^2+x)^(1/2)①-1/2∫1/(x^2+x)^(1/2)②
=(x^2+x)^(1/2)-1/2ln│x+1/2(x^2+x)^(1/2)│+C
解毕
ps：我在求该不定积分的时候，有一步用到了积分表，如果您的作业要求不能使用积分表，请您告诉我一声，我再把那不的推导过程给您补上，祝您学习进步~

参考资料：我们爱数学团sniper123123