如图，△ABC中，AB＞AC，AT是∠BAC的平分线，在BC上有一点S，是BS=TS，求证：AS²-A
如图，△ABC中，AB＞AC，AT是∠BAC的平分线，在BC上有一点S，是BS=TS，求证：AS²-AT²=（AB-AC）²
是，打错了，是BS=TC
记AB=c，AC=b，BC=a
则由角平分线的性质：
BT：TC=c：b
BT+TC=a
于是有：
TC=ab/(b+c)=BS，
BT=ac/(b+c)
SC=a-BS=ac/(b+c)
过点A做BC垂直线交BC于H，
HC=(a^2+b^2-c^2)/(2a）
勾股定理可得
AS^2-AT^2=(AH^2+SH^2)-(AH^2+TH^2)
=SH^2-TH^2
=(SC-HC)^2-(TC-HC)^2
=SC^2-TC^2-2HC(SC-TC)
=[ac/(b+c)]^2-[ab/(b+c)]^2-2[(a^2+b^2-c^2)/(2a）][(ac-ab)/(b+c)]
=a^2(c^2-b^2)/(b+c)^2-(a^2+b^2-c^2)(c^2-b^2)/(b+c)^2
=(c^2-b^2)^2/(b+c)^2
=(c-b)^2
=（AB-AC）^2
则由角平分线的性质：
BT：TC=c：b
BT+TC=a
于是有：
TC=ab/(b+c)=BS，
BT=ac/(b+c)
SC=a-BS=ac/(b+c)
过点A做BC垂直线交BC于H，
HC=(a^2+b^2-c^2)/(2a）
勾股定理可得
AS^2-AT^2=(AH^2+SH^2)-(AH^2+TH^2)
=SH^2-TH^2
=(SC-HC)^2-(TC-HC)^2
=SC^2-TC^2-2HC(SC-TC)
=[ac/(b+c)]^2-[ab/(b+c)]^2-2[(a^2+b^2-c^2)/(2a）][(ac-ab)/(b+c)]
=a^2(c^2-b^2)/(b+c)^2-(a^2+b^2-c^2)(c^2-b^2)/(b+c)^2
=(c^2-b^2)^2/(b+c)^2
=(c-b)^2
=（AB-AC）^2
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第1个回答 2013-11-19
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