（2014?常德模拟）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，P是AD上任意一点，过P点作EF∥AB，

Question

（2014?常德模拟）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，P是AD上任意一点，过P点作EF∥AB，PM∥AC．（1）证明四边形PFAM为菱形；（2）当菱形PFAM的面积为四边形BEFM面积的一半时，P点在AD上的何处？

Answer 1

解答：（1）证明：∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形．
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AD⊥BC（三线合一的性质），
∵∠BAD=∠FPA，
∴∠CAD=∠FPA，
∵FA=FP，
∴四边形PFAM为菱形．

（2）解：P为EF中点时，S_菱形AEPM=

1

2

S_{四边形EFBM}
作MN⊥EF与F点，，
∵四边形AEPM为菱形，
∴AD⊥FM，
∵AD⊥BC，
∴FM∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形BEFM为平行四边形．
则S_菱形AEPM=FP?MN=

1

2

EF?MN=

1

2

S_{四边形EFBM}．