非齐次线性方程组的通解

Question

如题所述

Answer 1

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。

一、扩展资料

非齐次线性方程组（Nonhomogeneous linear equations），是指常数项不全为零的线性方程组，表达式为Ax=b。

二、解法

1.对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

2.若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

3.设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。

三、解的存在性

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A,b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩。

四、非齐次方程组无解的充要条件是什么

假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m,则有：

1.当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解。

2.当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解。

3.当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解，由于对于矩阵的秩有：max{R(A),R(B)}<=R(A,B)，故不存在其它情形）

若n>m时，则按照上述讨论。

4.当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解。

5.当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。