N元线性方程组AX=B无解的充要条件是：rank(A)不等于rank(A，B)，其中rank(A)是系数矩阵 A 的秩，rank(A，B) 是增广矩阵 (A,B) 的秩。
另外，非齐次线性方程组AX=B有解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A，B)的秩，即rank(A)=rank(A，B)；非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n；非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解。
扩展资料：
非齐次线性方程组AX=B的求解步骤：
1、对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯形；
2、若R(A)<R(B)，则方程组无解；
3、若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形；
4、设R(A)=R(B)=r，把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，即可写出含n-r个参数的通解。
参考资料来源：百度百科-非齐次方程组