∫e^(-x^2)dx = Γ(1/2) / 2 = √π / 2
解题过程如下:
Γ(x)=∫t^(x-1)/e^t dt 积分限为0到正无穷大
取x=3/2得
Γ(1/2)=∫t^(-1/2) * e^(-t)dt = ∫ 1/x * e^(-x^2) d(x^2)=2∫e^(-x^2)dx
余元公式为
Γ(x)*Γ(1-x)=π / sinπx
所以Γ(1/2) = √π
所以
∫e^(-x^2)dx = Γ(1/2) / 2 = √π / 2
伽玛函数表达式:Γ(x)=∫e^(-t)*t^(x-1)dt (积分的下限是0,上限是+∞) 利用分部积分法(integration by parts)我们可以得到
Γ(x)=(x-1)*Γ(x-1) ,而容易计算得出Γ⑴=1,
由此可得,在正整数范围有:Γ(n+1)=n!
在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布:
f(x)=λe^(-λx)(λx)^(x-1)/Γ(x) x>=0
=0 x
函数性质
通过分部积分的方法,可以推导出这个函数有如下的递归性质:
Γ(x+1)=xΓ(x)