如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且2BD=AE,求证BD平分∠ABC

Question

如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且2AE=BD ,求证BD平分∠ABC

Answer 1

（题目有错，应该是BD=2AE）

延长AE交BC的延长线于F

因为，<AEB=<ACB=90º

所以，A，B，C，E四点共圆，

则<FAC=<EBC

在直角三角形ACF和直角三角形BCD中，

AC=AB，<FAC=<EBC

所以，直角三角形ACF和直角三角形BCD全等

则 AF=BD

而BD=2AE，那么AF=2AE，E是AF的中点，

那么，BE是AF的垂直平分线，AB=FB

三角形ABF是等腰三角形，BE是等腰三角形ABF底边上的高和中线，那么

BE就是顶角ABC的角平分线，

即BD平分〈ABC

Answer 2

证明【纠正2BD=AE是不可能的】
【可能1：2ED=AE】
∵AE⊥BE，
∴∠AED=∠ACB=90º
又∵∠EDA=∠CDB【对顶角相等】
∴⊿AED∽⊿BCD
∴BC∶CD=AE∶ED=2∶1 即BC=2DC
∵AB=AC
∴DC=DA
【但这个结果只能证明BD平分AC，而不是∠ABC】
【可能2：BD=2AE】
设BD中点为O，作OM⊥BD交BC于M
∴∠AED=∠MOB=90º，
∵∠ADE=∠CDB，∠EAD=90º-∠ADE，∠CBD=90º-∠CDB
∴∠EAD=∠CBD
又∵OB=½DE=AE
∴⊿AED≌⊿BOM（AAS）
∴BM=AD
∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA
∴DMBA是等腰梯形
∴DM//AB ,
∴∠MDB=∠DBA
∵MO 是DB的中垂线
∴⊿MDB是等腰三角形，MD=MB
∴∠MDB=∠MBD
∴∠MBD=∠DBA
即DB是∠ABC的平分线
【仅供参考】

Answer 3

（2AE=BD是可以解出的）
证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，
∠ACF=∠BCD=90°AC=BC∠FAC=∠DBC
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=
1
2
BD，
∴AE=EF．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．