an是正向数列且收敛,则存在p大于1,使n^pan存在为什么不对？

Question

如题所述

Answer 1

对于正向数列an收敛的情况，我们可以考虑使用Cauchy收敛准则来证明存在p大于1，使得n^p * an收敛。
根据Cauchy收敛准则，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当m，n大于N时，有|am - an| < ε。
假设an的极限为L，即lim(n→∞) an = L。
现在我们考虑n^p * an，其中p大于1。我们要证明存在这样的p，使得n^p * an收敛。
对于给定的ε > 0，我们要找到一个正整数N，使得当m，n大于N时，有|n^p * am - n^p * an | < ε。
注意到对于n≥1，有n^p > n，我们可以将上式改写为：
|n^p * am - n^p * an | = n^p * |am - an | < ε * n^p
那么，我们选择一个p > 1，并通过选择一个足够大的N，使得ε * n^p < ε * N^p。
因此，当m，n大于N时，有|n^p * am - n^p * an | < ε * N^p。
这证明了n^p * an收敛。
总结起来，对于正向数列an收敛的情况，存在p大于1，使得n^p * an收敛。