在RT三角形ABC中，角ACB=90度，CD垂直AB于点D，AF平分角CAB,交CD于点E，交CB于点F，且EG平行AB,交CB于点G

Question

求证:CF=GB

Answer 1

∵∠CAF＝∠BAF，∴CF/BF＝AC/AB，［三角形内角平分线定理］
∴CF/（CF＋BF）＝AC/（AC＋AB），［合比定理］
∴CF＝BC×AC/（AC＋AB）。·········①

∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴由射影定理，有：AC^2＝AD×AB，∴AD＝AC^2/AB。
由三角形内角平分线定理，有：CE/ED＝AC/AD＝AC/（AC^2/AB）＝AB/AC。

∵EG∥DB，∴CE/ED＝CG/GB，结合证得的CE/ED＝AB/AC，得：CG/GB＝AB/AC，
∴（CG＋GB）/GB＝（AB＋AC）/AC，［合比定理］
∴GB＝AC×BC/（AC＋AB）·········②

比较①、②，得：CF＝GB。

Answer 2

（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+∠AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；

（2）猜想：BE′=CF．
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，
∴ED=EG，
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴D′E′=GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在Rt△CEG与Rt△BE′D′中，
∠GCE=∠B ∠CGE=∠BD′E′ GE=D′E′ ，
∴△CEG≌△BE′D′，
∴CE=BE′，
由（1）可知CE=CF，
∴BE′=CF．