双曲线是一种二次曲线，其定义为平面上所有到两个定点的距离之差等于一个定值的点的轨迹。通常，这两个定点被称为双曲线的焦点，而定值被称为双曲线的离心率。
具体来说，设平面上有两个点F1和F2，且它们的距离为2c，离心率为e，那么所有到F1和F2的距离之差等于2ae的点P(x,y)的轨迹就是双曲线。其中，2ae是双曲线的半通径，也称为实轴长度。
双曲线的形状类似于两支开启的鞋子，两支鞋尖之间的距离为2ae，而两支鞋子的顶点则在双曲线的中心。双曲线具有很多重要的性质，包括它的离心率大于1，它的两条渐近线互相平行且距离为2ae，以及它的焦点和半通径等特征。
双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在描述电磁场的行为、研究天体运动和描述光学现象等方面。
除了上述的定义，双曲线还可以通过其标准方程来描述。双曲线的标准方程为：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1
其中，a和b为正实数，且满足b^2 = a^2(e^2 - 1)，e为双曲线的离心率。
这个方程表示了平面上所有满足双曲线定义的点的集合，其中x和y分别表示点在x轴和y轴上的坐标。
双曲线的形状和性质可以通过其标准方程进行推导和分析。例如，通过计算双曲线的焦点、半通径、渐近线和对称轴等特征，可以深入了解双曲线的性质和行为。
双曲线在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。例如，在几何学中，双曲线被用来研究圆锥曲线的性质和分类；在物理学中，双曲线被用来描述电磁场的行为和光的传播；在工程学中，双曲线被用来设计双曲线齿轮和双曲线涡轮等机械装置。
双曲线的标准方程中，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度，e表示双曲线的离心率。离心率是一个非零实数，它的大小决定了双曲线的形状和位置。当离心率为1时，双曲线变成了一个直线；当离心率趋近于无穷大时，双曲线趋近于两个无限远的点。
双曲线的标准方程中，x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1表示了平面上所有到双曲线两个焦点的距离之差等于一个定值的点的轨迹。这个定值是2ae，也就是双曲线的半通径。半通径是双曲线中心到渐近线的距离，它是双曲线的一个重要参数。
双曲线的渐近线是两条互相平行的直线，它们的斜率分别为±b/a，其中b是双曲线的短半轴长度。双曲线的渐近线可以帮助我们更好地理解双曲线的性质，例如它的对称性和形状。
双曲线在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。例如，双曲线被用来研究椭圆偏微分方程和量子力学中的波函数；在工程中，双曲线被用来设计双曲线齿轮和双曲线涡轮等机械装置；在金融学中，双曲线被用来描述股票价格的波动和风险。
在数学中，双曲线（希腊语“ὑπερβολή”字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a 的两倍，这里的a 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a 还叫做双曲线的半实轴。焦点位于贯穿轴上它们的中间点叫做中心。从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线，使得这里的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对（x, y）的多于一个的解。注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。双曲线的图像无限接近渐近线，但永不相交。
即y=1+1/x
(y-1)=1/x
（1）双曲线；
（2）对称中心（0，1）
（3）水平渐近线：x轴； 竖直渐近线：y=1
（4）与x轴交点（-1，0）
（5）单调减区间（-∞，0)，（0，+∞）
（5）x→-∞时，y趋近1-；x→0-时，y趋近-∞；
x→0+时，y趋近+∞；x→+∞时，y趋近1+