双曲线的定义式及变式，主要是变式是什么？

Question

本问主要问双曲线的定义式的变式是什么，并非问双曲线的定义。

Answer 1

双曲线的定义有两种
第一定义：即问者所述，平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹。若动点为P，则||PF1|-|PF2||=2a
第二定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的比（离心率e)大于1的点的轨迹。若动点为P，定点（焦点）为F，动点到定直线（准线）为d，则有e=|PF|/d>1。
需要说明的是，不仅双曲线有第二定义，椭圆也有第二定义（0<e<1），通常把这些第二定义称为圆锥曲线的“统一定义”：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的比为非负常数的点的轨迹。抛物线不分第一、二定义，但它的定义正是采用的圆锥曲线的统一定义，此时e=1。

Answer 2

双曲线即反比例函数的图像
定义式：y=k/x(k≠0)
主要变式：xy=k(k≠0)追问

请问，双曲线的定义不是“平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹”吗？这种定义的定义式有变式吗？

Answer 3

双曲线的定义有两种
第一定义：即问者所述，平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹。若动点为P，则||PF1|-|PF2||=2a
第二定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的比（离心率e)大于1的点的轨迹。若动点为P，定点（焦点）为F，动点到定直线（准线）为d，则有e=|PF|/d>1。
需要说明的是，不仅双曲线有第二定义，椭圆也有第二定义（0<e<1），通常把这些第二定义称为圆锥曲线的“统一定义”：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的比为非负常数的点的轨迹。抛物线不分第一、二定义，但它的定义正是采用的圆锥曲线的统一定义，此时e=1。我觉得这个答案比较好。