求1/根号(1+ x^2)的原函数是怎么回事？

Question

如题所述

Answer 1

求1/根号(1+x^2) 的原函数就是求函数1/根号(1+x^2) 对x的积分

（1）函数f(x)的不定积分
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
（2）求1/根号(1+x^2) 的原函数
用”三角替换”消掉根号(1+x^2)
令x=tanθ，-π/2<θ<π/2
即dx=secθ^2*dθ
则∫(1／√1+x^2)dx

=∫(1／√(1+tanθ^2)*secθ^2*dθ
=∫(1/cosθ)dθ
=∫[cosθ/(cosθ）^2]dθ
=∫1/[1-(sinθ)^2]d（sinθ)
=1/2*ln[（1-sinθ）/（1+sinθ)]+C

=ln[x+√(1+x^2)]+c

Answer 2

求1/根号(1+ x^2)的原函数是一个积分问题，我们可以使用Python中的SymPy库来解决。
要求的积分是：∫ 1/√(1 + x^2) dx
积分结果为：asinh(x)
所以，1/根号(1+ x^2)的原函数为：asinh(x)