ax lnx|函数f（x）=（a+1）lnx+ax*x+1，设a小于等于-2,证明任意x1，x2大于0，|f（

Question

如题所述

Answer 1

证明： 设x1=c*x2,其中c为大于1的任何实数，f(x1)-f(x2)=(a+1)lnc+a(c*c-1)*x2*x2 因为a为负数
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=-(a+1)lnc/[(c-1)*x2]-a(c+1)x2>=2*根号{a(a+1)(c+1)lnc/(c-1)}
因为 a小于等于-2，所以根号[a(a+1)]>=根号2
[(c+1)/(c-1)]lnc=[1+2/(c-1)]lnc
所以我们现在要证明上面这个关于c(c>1)的函数的最小值大于等于2即可

下面用到的是大学知识：

现在我们只要考虑函数 f(c)=lnc+2lnc/(c-1) c>1;可令 c=1+y,y>0
所以f(y)=ln(1+y)+2ln(1+y)/y
当y<1时，由泰勒展式 ln(1+y)=y-y^2/2+y^3/3-y^4/4+.....
代入f(y)得 f(y)=2+x^2/6-x^3/6....>=2;
当y>=1时，显然f(y)>=3*ln2>2
综合得a(a+1)*f(c)>=4
所以|f(x1)-f（x2)|>=4|x1-x2|