高中数学：f（x）=（lnx的绝对值）+a/（x+1），且对任意x1,x2属于（0，2】，x1不等于x2.

Question

高中数学：f（x）=（lnx的绝对值）+a/（x+1），且对任意x1,x2属于（0，2】，x1不等于x2，都有[g(x2)-g(x1)]/(x2-x1)<-1求a的取值范围。（其中[g(x2)-g(x1)]/(x2-x1)可不可以看做（x1，g（x1））到（x2，f（x2））的斜率，怎么做呢，谢谢回答。
抱歉是g（x）=（lnx的绝对值）+a/（x+1），将就着看把

Answer 1

本题目的考察意图是导数在（0,2】上最大值小于等于-1,（因为导数是极限）（其中[g(x2)-g(x1)]/(x2-x1)可以看做（x1，g（x1））到（x2，f（x2））的斜率。
首先写出导数g、(x)
g、(x)=-1/x-a/(x+1)^2 (0<x<=1)
g、(x)=1/x-a/(x+1)^2 (1<x<=2)
由于g、(x)是分段函数分段纠结最大值为-1
对于第一段再次求导g、、(x)=1/x^2+(2a)/(x+1)^3同分化简得g、、(x)=（x^3+(3+2a)x^2+3x+1）/(x^2)(x+1)^3
分母为正，对于分子再次求导判断二次导数的正负从而得到一次导数的单调性从而求出最值用关于a的表达式小于-1求出a的范围。
第二段用一样的处理方式。
或根据拉格郎日中值定理有：(g(x1)-g(x2))/(x2-x1)=-g'(y) y介于x1，x2之间，而x1,x2∈(0,2]
因此，根据题目中要求所知，只要在(0,2)区间内满足-g'(y)<-1即可达到要求。
故：g'(y)>1
当y<1时，g'(x)＝[-lny+φ(y)]'=-1/y-a/(y+1)^2，g''(y)=1/y^2+2a/(y+1)^3>0
故：g'(y)max=g'(1-)=-1-a/4;a<-8
当y>1时，g'(y)＝[lny+φ(y)]'=1/y-a/(y+1)^2>1，
a<-(y-1)(y+1)^2/y,1<y<2
令h(x)=-(x-1)(x+1)^2/x,1<x<2,h'(x)=-[(x+1)^2+2x(x-1)(x+1)]/x^2<0可得：h(x)min=h(2-)=-9/2
故：a<-9/2
综上所述：a<-8
这些都是复制别人的 你看看，做过这题，但是我懒得再做了。

Answer 2

你后面是不是打错了？题目里面哪有g(x)?

毫无疑问，利用斜率做是比较麻烦的 ^_^
构造函数h(x)=x+f(x)，利用h(x)单调递减求a的取值范围。
h(x)=x+lnx+a/(x+1)，x∈(0,2].

理由如下：不妨设x2>x1，则g(x2)-g(x1)<-x2+x1
g(x2)+x2<g(x1)+x1，即x1<x2时，h(x1)>h(x2)

故宜用单调性解题 ^_^