用斯托克斯公式计算曲线积分∫(y+1)dx+(z+2)dy+(x+3)dz其中曲线为x^2+y^2+z^=R^2 x

Question

用斯托克斯公式计算曲线积分∫(y+1)dx+(z+2)dy+(x+3)dz其中曲线为x^2+y^2+z^=R^2 x∧2+y∧2=ax,从z轴正向看去曲线的方向为逆时针

Answer 1

首先这个图很好画，你应该能画出来吧，就是一个球，然后被过原点的斜平面截得的一个半径为R，圆心在原点且在x+y+z=0平面上的空间圆。曲线方向符合右手定则，因此方向为正，积分符号为正。　　P=y+1,Q=z+2,R=x+3　　根据斯托克斯公式　　P只对y有导数，Q只对z有导数，R只对x有导数，且均为1，剩下的导数均为0，代入到上式中有，　　原式=-（∫∫dydz+dzdx+dxdy），然后就是第二类曲面积分了，利用“一代二投三定向”的方法就可以解出来了。需要说明，考虑到对称性，只解∫∫dydz的积分值，剩余两个积分值是一样的；而且对于这个题目∫∫dydz来说，因为被积函数是1，其实就是要求积分曲面在YOZ平面的投影面积，是个椭圆，长半轴为a=R，短半轴为b=√3/3R，根据椭圆面积公式，S=πab即可求得一个方向的积分值，再乘以3后添加个负号（因为原式求导之后是0-1），就是最后结果。