1/(2+cosx)的不定积分是什么

Question

如题所述

Answer 1

具体回答如下：

根据题目令u = tan(x/2)

cosx = (1 - u²)/(1 + u²)

dx = 2du/(1 + u²)

∫ 1/(2 + cosx) * dx

= ∫ 1/[2 + (1 - u²)/(1 + u²)] * 2du/(1 + u²)

= ∫ (1 + u²)/(2 + 2u² + 1 - u²) * 2du/(1 + u²)

= 2∫ du/(u² + 3)

= (2/√3)arctan(u/√3) + C

= (2/√3)arctan[(1/√3)tan(x/2)] + C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

令u = tan(x/2)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)，dx = 2du/(1 + u²)

∫ 1/(2 + cosx) * dx

= ∫ 1/[2 + (1 - u²)/(1 + u²)] * 2du/(1 + u²)

= ∫ (1 + u²)/(2 + 2u² + 1 - u²) * 2du/(1 + u²)

= 2∫ du/(u² + 3)，用公式：∫ dx/(x² + a²) = (1/a)arctan(x/a) + C，可得

= (2/√3)arctan(u/√3) + C

= (2/√3)arctan[(1/√3)tan(x/2)] + C

求解

我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

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Answer 3

我来做一次吧，楼上那方法还真弄麻烦了
令u = tan(x/2)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)，dx = 2du/(1 + u²)
∫ 1/(2 + cosx) * dx
= ∫ 1/[2 + (1 - u²)/(1 + u²)] * 2du/(1 + u²)
= ∫ (1 + u²)/(2 + 2u² + 1 - u²) * 2du/(1 + u²)
= 2∫ du/(u² + 3)，用公式：∫ dx/(x² + a²) = (1/a)arctan(x/a) + C，可得
= (2/√3)arctan(u/√3) + C
= (2/√3)arctan[(1/√3)tan(x/2)] + C，快很多吧

另解：
∫ dx/(2 + cosx)
= ∫ dx/[2sin²(x/2) + 2cos²(x/2) + cos²(x/2) - sin²(x/2)]，公式cos2x = cos²x - sin²x
= ∫ dx/[3cos²(x/2) + sin²(x/2)]，分子和分母再除以cos²(x/2)
= 2∫ sec²(x/2)/[3 + tan²(x/2)] d(x/2)
= 2∫ d[tan(x/2)]/[3 + tan²(x/2)]，凑sec²(x/2) d(x/2) = d[tan(x/2)]
= 2 * 1/√3 * arctan[tan(x/2)/√3] + C，公式：∫ dx/(x² + a²) = (1/a)arctan(x/a) + C
= (2/√3)arctan[(1/√3)tan(x/2)] + C

Answer 4

∫dx/(2+cosx)
cosx+1=2cos^2(x/2)
原式=∫dx/(2cos^2(x/2)+1)
=∫sec^(x/2)dx/(2+sec^2(x/2))

=2∫d(tg^(x/2))/(3+tg^2(x/2))
设tgx/2=t

=2∫dt/(1+(t/根号3)^2)
=2根号3∫d(t/根号3)/(1+(t/根号3)^2)
令t/根号3=tga
2根号3∫d(t/根号3)/(1+(t/根号3)^2)
=2根号3∫d(tga)/(1+(tga)^2)
=2根号3∫sec^2a/(sec^2a)da
=2根号3*a+c
a=arctg(t/根号3)
tg(x/2)=t
a=arctan(tg(x/2)/根号3))

原式=2根号（3）/3*arctan{（根号（3）/[3tan(x/2)]}追问

tg啥意思？

追答

tg=tan

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Answer 5

用三角代换做，很容易的
就是用x=tan（t/2)代入，2代换成sin^2+cos^2追问

不要说得不明不白的，我要具体步骤。。。。。