如图，三角形ABC中，DC:DB=EA:EC=FB:FA=1:2,求三角形GHI的面积与三角形ABC的面积的比值。

Question

急呀 这张卷子出现在一个测验卷上，老师把所有题目的过程都写出来了，唯独这道题。问老师，老师给我们讲两句就把我们轰走了，看来，这很有可能就是期中考的题目。
老师的答案是1/7

Answer 1

CF切割⊿ABD三边，从梅涅劳斯定理﹙AF/FB﹚×﹙BC/CD﹚×﹙BG/GA﹚＝1  得到BG/GA＝1/6

∴S⊿DGC＝﹙1/3﹚S⊿GBC＝﹙1/21﹚S⊿ABC  

 S⊿AGC＝﹙1/3-1/21﹚S⊿ABC  ＝﹙2/7﹚S⊿ABC 

同理S⊿BHA＝S⊿CIB ＝﹙2/7﹚S⊿ABC 

∴S⊿IGH＝﹙1-3×2/7﹚S⊿ABC ＝﹙1/7﹚S⊿ABC .

[  梅涅劳斯定理十分有用，初中生应该掌握，还有赛瓦定理，见：

http://zhidao.baidu.com/question/30938285.html?an=0&;si=1   ]

Answer 2

解：过点E作EK平行于CB交AD于点K。
则有。 Ek\DC=EA\AC=1\3，
因为。 DC\DB=1\2，
所以。 EK\DB=1\6，
因为。 EK平行于BC，
所以。 EH\HB=EK\DB=1\6，
所以。 HB\BE=6\7，
因为。 EA\EC=1\2，
所以。 EA\AC=1\3，
因为。 三角形ABE的面积\三角形ABC的面积=EA\AC=1\3，
三角形ABH的面积\三角形ABE的面积=HB\BE=6\7，
（同高的两个三角形的面积的比等于底的比），
所以。 三角形ABH的面积\三角形ABC的面积=2\7，
同理。 三角形BCl的面积\三角形ABC的面积=2\7，
三角形ACG的面积\三角形ABC的面积=2\7，
所以。 三角形GHl的面积\三角形ABC的面积=（1一2\7一2\7一2\7）
=3\15
=1\7。追问

Ek\DC=EA\AC=1\3，解释下

追答

因为 AE/EC=1/2，
所以 AE/AC=1/3，
因为 EK//BC，
所以 EK/DC=AE/AC=1/3（平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角
形的三边对应成比例）

追问

EH\HB=EK\DB=1\6，这个呢

追答

EH/HB=EK/DB=1/6，即；EH/HB=1/6
（EH+HB）/HB=（1+6）/6
BE/HB=7/6
HB/BE=6/7

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Answer 3

过D作DM平行AB交CF于M
所以DM/BF=DC/BC DM/AF=DG/AG
因为DC/DB=1/2
所以DC/BC=1/3
所以 三角形ADC的面积：三角形ABC的面积=1:3
DM/BF=1/3
因为BF/AF=1/2
所以DM/AF=1/6
所以DG/AG=1/6
所以三角形DGC的面积：三角形ADC的面积=1:6
所以三角形DGC的面积：三角形ABC的面积=1：18
三角形ACG的面积=5/18三角形ABC的面积
因为DC:DB=EA:EC=FB:FA=1:2
所以三角形BEC的面积=2/3三角形ABC的面积
三角形BCD的面积=三角形ADC的面积=1/3三角形ABC的面积
同理可证：三角形BIC的面积=5/18三角形ABC的面积
因为三角形GHI的面积=三角形BEC的面积-[(三角形AGC的面积-三角形DGC的面积)+三角形BIC的面积]=1/6三角形ABC的面积
所以三角形GIH的面积比三角形ABC的面积的比值三1/6

Answer 4

过c做BE平行线 交AD于k
HE:CK=AE:AC=1:3
CK:HB=CD:DB=1:2
HE:HB=1:6就是说AH把△ABE分成1:6
△AEH:△ABE=1:7
△ABE:△ABC=1:3
△AEH:△ABC=1:21
同理△BFT:△ABC=1:21，△CDG:△ABC=1:21
如果△ABC是21份的话 △BFT占1份,△ABH占6份 四边形AFIH占5份
因此做减法中间的GHI等于21-1*3-5*3=3
△GHI:△ABC=3:21=1:7