4道初中数学几何证明题

Question

1、 如图，D是△ABC的边BC上的点，且AB=CD，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证AC=2AE。
2、 如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B，求证△ABC≌△CDE。
3、 已知AD是△ABC的中线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且BE=CF，①求证AD是△BAC的平分线 ②求证AB=AC。
4、 已知△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证AB=AC+CD。

Answer 1

（1）延长AE使EF=AE，连接DF。∵AE是△ABD的中线，∴BE=DE。∵对顶角相等，∴△ABE≌△FDE ∴∠BAE=∠EFD
∵∠ADB=∠BAD ∴∠ADF=∠ADB+∠BDF，∠ADC=∠B+∠BAD ∵△ABE≌△FDE ∴∠ADF=∠ADC ∵AB=CD，∠ADB=∠BAD，AD共线 ∴△AFD≌△ACD ∴AF=AC
∵AF=2AE ∴AC=2AE
（2）∵AC∥DE ∴∠ACB=∠DEC，∠ACD=∠D ∵∠ACD=∠B ∴∠B=∠D
∵AC=CE ∴△ABC≌△CDE
（3）∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD ∵DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F ∴∠BED=∠CFD
∵BE=CF ∴△BED≌△CFD ∴ED=FD
∵DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且AD共线 ∴Rt△ADE≌Rt△ADF ∴∠EAD=∠FAD
∴AD是△BAC的平分线 由Rt△ADE≌Rt△ADF ∴AE=AF，且BE=CF ∴AB=AC
（4）延长AC使CE=CD，连接DE ∵∠C=∠CED+∠CDE=2∠B且∠CED=∠CDE
∴∠CED=∠B ∵∠1=∠2且AD共线 ∴△ADB≌△ADE ∴AB=AE ∵AE=AC+CE=AC+CD
∴AB=AC+CD

Answer 2

1.设 AB = 2a，因∠ADB=∠BAD， 则AB = BD = CD = 2a, E 点 为中点，所以BE = ED = a

在三角形△ABE和△ABC中，由余弦定理，有：
4a^2 + a^2 - 4a^2sin∠ABC= AE^2 1 式
16a^2 + 4a^2 - 16a^2sin∠ABC = AC^2 2 式（法一）
法二：
延长AE至F，使EF=AE，连结BF、DF，则ABFD是平行四边形。
则角DAB+角ABF=180，又角ADB=角DAB，角ADB+角ADC=180。
所以角ADB=角ABF
在三角形ADC和三角形ABF中
DC=AB，AD=BF，角ADC=角ABF
所以AC=AF=2AE

1 式 x 4 = 2 式 即 4AE^2 = AC^2，又因AE和AC为三角形边，值为正，所以 2AE = AC
2.证明：由题设，∠B=∠D=∠ACD
又∠ACE为△ABC的一个外角，
则有∠ACE=∠A+∠B=∠ACD+∠DCE
则∠A=∠DCE，同理可得
∠ACB=∠E
即△ABC与△CDE三个角分别对应相等，
所以△ABC∽△CDE，又AC=CE（对应边相等）
易得△ABC≌△CDE
3.BD=DC
BE=CF
根据勾股定理，可知
ED=根号(BD^2-BE^2)=根号(CD^2-CF^2)=DF
三角形三条边相等
=>三角形BDE全等于三角形CDF
=>角B=角C
=>AB=AC
=>AD是角BAC的平分线 (等腰三角形高，中线和角平分线重合)

4.在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.求证：AB＝AC＋CD
AD是∠BAC的平分线，交BC于D,故∠1=∠2.
证明：延长AC到E，使CE=CD,连接ED,延长ED交AB于F.
CE=CD, ,∠CED=∠CDE
,∠C=∠CED+∠CDE ∠E=1/2∠C=∠B
∠1=∠2
AD=AD
△ADE与△ADB全等 AE=AB 又因CE=CD 所以AB＝AC＋CD

望采纳、谢谢。

Answer 3

第2题：证明：∵AC∥DE
∴∠ACB=∠E（两直线平行，同位角相等）
∴∠ACD=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACD=∠B
∴∠B=∠D（等量代换）
又∵AC=CE
∴△ABC≌△CDE（AAS）