若实数a,b,c满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=3，求ab+bc+ca的最小值

Question

求过程

Answer 1

(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2(ab+bc+ca)=5+2(ab+bc+ca)

(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2(ab+bc+ca)
=2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca
=(a^2+2ab+b^2)+(b^2+2bc+c^2)+(c^2+2ca+a^2)
=(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2≥0
所以5+2(ab+bc+ca)≥0
2(ab+bc+ca)≥-5
ab+bc+ca≥-5/2

所以ab+bc+ca的最小值为-5/2

Answer 2

因为 (a-b)^2≥0 a^2-2ab+b^2≥0 a^2+b^2≥2ab
所以 a^2+b^2≥2ab;
b^2+c^2≥2bc;
c^2+a^2≥2ca；
ab+bc+ca≥3/2

Answer 3

由基本不等式，a(b+c)>=-a^2-(b+c)^2/2
ab+bc+ac=a(b+c)+bc>=-a^2-b^2-c^2-2bc/2+bc=-(a^2+b^2+c^2)/2
由题中条件相加得a^2+b^2+c^2=3
所以ab+bc+ac>=-3/2