下列命题中：①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；②若f（x）是定义域为R

Question

下列命题中：①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③已知x1，x2是函数f（x）定义域内的两个值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数；④若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是______．

Answer 1

①若函数f（x）的定义域为R，
g（x）=f（x）+f（-x）
∴g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），
故g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数一定是偶函数，故①正确；
②∵定义域为R的奇函数f（x），对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，
则f（x）=f（x-2），它表示函数是一个周期为2的周期函数，其图象不一定是轴对称图形，
故②函数f（x）的图象关于直线x=1对称为假命题；
③若f（x）是减函数，则要求任意x₁＜x₂，均有f（x₁）＞f（x₂），由于③中x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，不具有任意性，故③为假命题；
④若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，
则f （x）是以4为周期的周期函数，故④为真命题．
故答案为：①④．