1、arctanx 的麦克劳林级数展开式，必须分三段考虑：
-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞
2、分成三段的原因是：
(1)、在展开过程中，必须先求导，再积分；
(2)、在求导跟积分之间，必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式；
(3)、运用等比求和公式时，必须考虑收敛与否，因此必须分成两部分：|x| < 1、|x| ≥ 1；
(4)、在 |x| ≥ 1 时，有必须考虑积分的下限问题，因此还得再分为二。
展开方式如下
当|X|<1时,
当X≤1时,
当X≤-1时,
扩展资料：
函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将 1/(1+x) 展开成 x−1 的幂级数，我们就可以将函数写成 x−1 的函数，然后利用 1/(1+x) 的幂级数展开式。
3、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如 sin2x 的展开式就可以通过将 sinx 的展开式里的 x 全部换成 2x 而得到。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如 coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx 的展开式逐项求导得到。需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。
5，利用级数的四则运算
例如 sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x 和 e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。
参考资料：百度百科-幂级数
1、arctanx 的麦克劳林级数展开式，必须分三段考虑：
-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞
2、分成三段的原因是：
A、在展开过程中，必须先求导，再积分；
B、在求导跟积分之间，必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式；
C、运用等比求和公式时，必须考虑收敛与否，因此必须分成两部分：
|x| < 1、|x| ≥ 1；
D、在 |x| ≥ 1 时，有必须考虑积分的下限问题，因此还得再分为二。
3、具体过程，请参见下面的三张图片，每张图片，都可以点击放大。；
4、如有疑问或质疑，欢迎提问；有问必答、有疑必释、有错必纠。
简单计算一下即可，答案如图所示
