f(x)=arctanx的麦克劳林级数展开式为________?

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=arctanx的麦克劳林级数展开式为：∑(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)（n从0到∞）。

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式；最为常见的函数的等价麦克劳林级数Maclaurin Series，以及收敛区间Radius of Convergence判断，麦克劳林级数就是把展开点取为x=0的时候的结果。

扩展资料：

分子是两个或以上的函数相乘，这种情况比较复杂，主要考虑的是分子相乘会出现的所有与分母同阶的项，举个例子，比如分母是三阶，那么两个多项式必须都展开到三阶，因为一个函数的常数项与另一个函数的三次项，一个函数的一次项与另一个函数的二次项相乘都是三次，也就说，必须要保证展开的阶数相乘会得到所有与分母同阶的三次项。

如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来求近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还可以给出这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

Answer 2

∑(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)（n从0到∞）

麦克劳林级数(Maclaurin series)是函数在x=0处的泰勒级数，它是牛顿(I.Newton)的学生麦克劳林(C.Maclaurin)于1742年给出的，用来证明局部极值的充分条件，他自己说明这是泰勒级数的特例，但后人却加了麦克劳林级数这个名称。

麦克劳林级数定理

分子是两个或以上的函数相乘，这种情况比较复杂，主要考虑的是分子相乘会出现的所有与分母同阶的项，举个例子，比如分母是三阶，那么两个多项式必须都展开到三阶，因为一个函数的常数项与另一个函数的三次项，一个函数的一次项与另一个函数的二次项相乘都是三次，也就说，必须要保证展开的阶数相乘会得到所有与分母同阶的三次项。

如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来求近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还可以给出这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

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Answer 3

∑(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1) (n从0到∞)

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Answer 4

f(x)
=
ln(a+x)
f'(x)
=
1/(a+x)
f''(x)
=
-1/(a+x)^2
...
f^(n)(x)
=
(-1)^(n-1).
(n-1)!/(a+x)^n
f(x)
=ln(a+x)
=
f(0)
+[f'(0)/1!]x+
[f''(0)/2!]x^2+...
=lna
+
(1/a)x
-
[1/(2a^2)]
x^2
+....+
(-1)^(n-1)
[
1/(na^n)
]x^n
+....

Answer 5

泰勒展开式x=0的情况