子群的判定定理有以下三种：
1，判定定理一：已知群<G,>，已知S是G的非空子集，运算在S上封闭，S的每个元素都有逆元。
则<S,*>是<G,*>的子群。
2，判定定理二：若<G,>是群，S⊆G，S≠∅且S是有限集，则只要在S上封闭，则可确定<S,*>是<G,*>的子群。
3，判定定理三：如果H是G的子集，H中任意元素的逆元也在H中，则H是G的子群。
知识扩展
子群是群论中的一个重要概念，它指的是一个集合在某种运算下所构成的封闭子集。对于一个给定的群G和其子集H，如果H在G的运算下封闭，即对于任意两个元素x和y属于H，它们的运算结果也在H中，那么我们称H是G的子群。
子群的概念可以应用于各种不同的领域，包括数学、物理、化学、计算机科学等。在数学领域，子群通常被用于研究群的结构和性质，以及群之间的同态和同构等问题。
一个群G的子群可以有很多种不同的形式，其中最简单的是平凡子群，它只包含单位元。除了平凡子群外，还有循环子群、可交换子群、正规子群等不同类型的子群。
循环子群是指由群中的一个元素生成的子群，它可以看作是该元素的一个“轨道”。循环子群的阶是该元素的阶，它可以由该元素的不同次幂构成。
可交换子群是指两个元素在某种运算下能够交换位置的子群。可交换子群在交换代数学中有着重要的应用，因为任何可交换群都必然是可交换子群的直和。
正规子群是指与群的其余部分“相切”的子群，也就是说，它与群的其余部分的交集是平凡的。正规子群在群的自同构和同态的研究中有着重要的应用。
除了上述几种类型的子群外，还有许多其他类型的子群，如Sylow子群、Frobenius子群等。这些不同类型的子群在解决不同的群论问题时有着各自独特的作用。
总之，子群是一个非常重要的概念，它可以应用于许多不同的领域。通过研究不同类型子群的结构和性质，我们可以更好地理解群论中的各种问题，并为解决实际问题提供有效的工具和方法。