已知△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，∠BDC=120°，E、F分别为AB和AC上任一点，且∠EDF=60°，DG

Question

已知△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，∠BDC=120°，E、F分别为AB和AC上任一点，且∠EDF=60°，DG⊥EF，求证：△BED≌△GED．

Answer 1

证明：如图，延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
在△NBD和△FCD中，

BD＝DC ∠NBD＝∠FCD＝90°   BN＝CF

，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，

DE＝DE ∠EDF＝∠EDN    DN＝DF

，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴BD=DG，
在Rt△EBD与Rt△EGD中，

BD＝GD ED＝ED

，
∴Rt△EBD≌Rt△EGD（HL）．

Answer 2

证明：如图，延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
在△NBD和△FCD中，

BD＝DC ∠NBD＝∠FCD＝90°   BN＝CF

，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，

DE＝DE ∠EDF＝∠EDN    DN＝DF

，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴BD=DG，
在Rt△EBD与Rt△EGD中，

BD＝GD ED＝ED

，
∴Rt△EBD≌Rt△EGD（HL）．

Answer 3

证明：如图，延长AB到N，使BN=CF，连接DN， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD， 在△NBD和△FCD中， BD＝DC ∠NBD＝∠FCD＝90° BN＝CF ， ∴△NBD≌△FCD（SAS）， ∴DN=DF，∠NDB=∠FDC， ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°， ∴∠EDB+∠FDC=60°， ∴∠EDB+∠BDN=60°， 即∠EDF=∠EDN， 在△EDN和△EDF中， DE＝DE ∠EDF＝∠EDN DN＝DF ， ∴△EDN≌△EDF（SAS）， ∴BD=DG， 在Rt△EBD与Rt△EGD中， BD＝GD ED＝ED ， ∴Rt△EBD≌Rt△EGD（HL）．