如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点

Question

如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

CN=MN+BM
证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，

BD＝DC ∠MBD＝∠ECD BM＝CE

，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND与△END中，

ND＝ND ∠MDN＝∠EDN MD＝DE

，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．