操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边

Question

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．

Answer 1

解：（1）BM+CN=MN
证明：如图，延长AC至M₁，使CM₁=BM，连接DM₁
由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁
∴∠MDB=∠M₁DC，DM=DM₁
∴∠MDM₁=（120°-∠MDB）+∠M₁DC=120°．
又∵∠MDN=60°，
∴∠M₁DN=∠MDN=60°．
∴△MDN≌△M₁DN．
∴MN=NM₁=NC+CM₁=NC+MB．

（2）附加题：CN-BM=MN
证明：如图，在CN上截取CM₁，使CM₁=BM，连接MN，DM₁
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM₁=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁
∴∠MDB=∠M₁DC，DM=DM₁
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM₁+∠BDN=60°．
∴∠NDM₁=∠BDC-（∠M₁DC+∠BDN）=120°-60°=60°．
∴∠M₁DN=∠MDN．
∵ND=ND，
∴△MDN≌△M₁DN．
∴MN=NM₁=NC-CM₁=NC-MB．