如图,已知△abc是边长为1的等边三角形,△bdc是顶角∠bdc为120°的等腰三角形,以点d为顶点作一个60°

Question

如图，已知△abc是边长为1的等边三角形，△bdc是顶角∠bdc为120°的等腰三角形，以点d为顶点作一个60°角的两边分别交ab于点m，交ac于点n，连接mn，形成一个三角形。求证：点d在∠mnc的角平分线上？

Answer 1

∵BD=CD，∠BDC=120°

∴∠DBC=∠DCB=(180°-120°)/2=30°

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∴∠MBD=∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°

∠NCD=∠ACD=∠ACB+∠DCB=90°

延长AB，截取BH=CN，连接DH

∵BD=CD，BH=CN，∠DBH=∠NCD=90°

∴△DCN≌△DBH(SAS)

∴DH=DN，∠CDN=∠BDH

∠CND=∠H

∵∠CDN+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°

∴∠MDH=∠BDM+∠BDH=∠BDM+∠CDN=60°

∴∠MDH=∠MDN=60°

∵DH=DN，DM=DM

∴△MDN≌△MDH(SAS)

∴∠H=∠MND

∴∠MND=∠CND

∴点D在∠MNC的角平分线上

Answer 2

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