设向量组a1,a2,a3线性无关,判断向量组b1,b2,b3的线性相关性: (1) b1=a1+a

Question

设向量组a1,a2,a3线性无关,判断向量组b1,b2,b3的线性相关性:
(1) b1=a1+a2,b2=2a2+3a3,b3=5a1+3a2
(2) b1=a1+2a2+3a3,b2=2a1+2a2+4a3,b3=3a1+a2+3a3
(3) b1=a1-a2,b2=2a2+a3,b3=a1+a2+a3

Answer 1

（1）
(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)*
1 0 5
1 2 3
0 3 0
矩阵秩为3，因此两向量组等价，因此向量组b1,b2,b3也线性无关

（2）
(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)*
1 2 3
2 2 1
3 4 3
矩阵秩为3，因此两向量组等价，因此向量组b1,b2,b3也线性无关

（3）
(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)*
1 0 1
-1 2 1
0 1 1
矩阵秩为2，因此两向量组不等价，因此向量组b1,b2,b3秩，不等于向量组a1,a2,a3的秩（等于3），因此向量组b1,b2,b3秩只能小于3，则线性相关

Answer 2

计算相应的行列式即可
如(1) 行列式
1 1 0
0 2 3
5 3 0
= 6 ≠ 0
所以向量组线性无关

其他的自己算吧