已知：如图，在Rt三角形ABC中，∠ACB=90度，∠BAC=60度，BC的垂直平分线分别亦BC和
已知：如图，在Rt三角形ABC中，∠ACB=90度，∠BAC=60度，BC的垂直平分线分别亦BC和AB于点D，E，点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形。
证明：
∵DE⊥BC ，∠ACB=90°
∴DE∥AC ，∠BAC=∠BED=∠FEA=60°
∵BD=DC ，DE∥AC
∴BE=EA
∴在Rt△ABC中CE=EA=BE
∵在△AEC中，∠BAC=60°， CE=EA
∴△AEC为等边三角形，即CE=AC
∵在△AEF中，∠FEA=60° ，CE=EA=AF
∴△AEF为等边三角形，即FE=AF
∵在四边形ACEF中FE=AF=AC=CE
∴四边形ACEF为菱形
扩展资料：
菱形判定定理：
在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
① 四条边都相等的四边形是菱形。
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）。
③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
垂直平分线：
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
如图1，N是AB的中点，过N点作MN⊥AB，则，MN为AB的垂直平分线。
参考资料：百度百科—中垂线 百度百科—菱形判定定理
证明：
∵∠ACE=90°，DE垂直平分BC，
∴DF∥AC，AE=CE，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BAC=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AE=CE=AE，
∵∠BAC=60°，
∴ΔACE是等边三角形，
∴∠AEF=∠CAE=60°，
∵AF=CE=AE，
∴ΔAEF是等边三角形，
∴EF=AE=AF=AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形。
扩展资料：
菱形(rhombus)指的是在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形。四边都相等的四边形。菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的四条边都相等；菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其中心，即两对角线的交点）；在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的√3倍。依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样，中点四边形的形状总是平行四边形。菱形的中点四边形总是矩形。
参考资料:平行四边形_百度百科
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∴DF∥AC,AE=CE,
∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BAC=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠BAC=∠ACE,
∴AE=CE=AE,
∵∠BAC=60°,
∴ΔACE是等边三角形,
∴∠AEF=∠CAE=60°,
∵AF=CE=AE,
∴ΔAEF是等边三角形,
∴EF=AE=AF=AC=CE,
∴四边形ACEF是菱形.
扩展资料
在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，菱形是轴对称图形，对称轴有2条。
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)(英文:perpendicular bisector) 垂直平分线，简称"中垂线"，是初中几何学科中非常重要的一部分内容。
用一条直线把一条线段从中间分成相等的二条线段，并且与所分的线段垂直，这条线直线就叫这条线段的垂直平分线。通常要用圆规和直尺作图才能作出。 中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。
本回答被网友采纳∴DF∥AC,AE=CE,
∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BAC=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠BAC=∠ACE,
∴AE=CE=AE,
∵∠BAC=60°,
∴ΔACE是等边三角形,
∴∠AEF=∠CAE=60°,
∵AF=CE=AE,
∴ΔAEF是等边三角形,
∴EF=AE=AF=AC=CE,
∴四边形ACEF是菱形.本回答被提问者采纳