已知点C是⊙O上一动点，弦AB=6，∠ACB=120゜． （1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC=CD；（2）如图2
已知点C是⊙O上一动点，弦AB=6，∠ACB=120゜． （1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC=CD；（2）如图2，△ABC内切圆半径为r．①用含r的代数式表示AC+BC；②求r的最大值．
解答：
（1）证明：在CD上截取CE=BC，如图1，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120゜，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴△BCE为等边三角形，∠ABD=∠ACD=60°，
∴BE=BC=CE，∠1+∠ABE=60°，∠ABE+∠2=60°，
∴∠1=∠2，
在△ACB和△DEB中
，
∴△ACB≌△DEB，
∴AC=DE，
∴CD=CE+DE=BC+AC；
（2）解：①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于F，如图，
则PF=PQ=PH=r，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120゜，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠CPF=∠CPH=30°，
∴CF=
PF=
r，CH=
PH=
r，
∴AF=AQ=AC-CF=AC-
r，BH=BQ=BC-CH=BC-
r，
而AB=AQ+BQ，
∴AC-
r+BC-
r=6，
∴AC+BC=6+
r；
②∵AC+BC=CD，
∴CD=6+
r，
∴当CD为直径时，r最大，
如图3，当CD为直径，
∴CD⊥AB，垂足为M，
∴AM=BM=
AB=3，AC=BC，
∵∠ACD=60°，
∴∠CAM=30°，
∴CD=
AM=
，
∴AC=2CD=2
，
∴2
+2
=6+
r，
∴r=6-3
（1）证明：在CD上截取CE=BC，如图1，∵CD平分∠ACB，∠ACB=120゜，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴△BCE为等边三角形，∠ABD=∠ACD=60°，
∴BE=BC=CE，∠1+∠ABE=60°，∠ABE+∠2=60°，
∴∠1=∠2，
在△ACB和△DEB中
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∴△ACB≌△DEB，∴AC=DE，
∴CD=CE+DE=BC+AC；
（2）解：①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于F，如图，
则PF=PQ=PH=r，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120゜，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠CPF=∠CPH=30°，
∴CF=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴AF=AQ=AC-CF=AC-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
而AB=AQ+BQ，
∴AC-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴AC+BC=6+
2
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| 3 |
②∵AC+BC=CD，
∴CD=6+
2
| ||
| 3 |
∴当CD为直径时，r最大，
如图3，当CD为直径，
∴CD⊥AB，垂足为M，
∴AM=BM=
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∵∠ACD=60°，
∴∠CAM=30°，
∴CD=
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| 3 |
| 3 |
∴AC=2CD=2
| 3 |
∴2
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| 3 |
2
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| 3 |
∴r=6-3
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