例1、已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F，得到△DEF为等边三角形，求证：（1）△AEF≌△CDE;(2)△ABC为等边三角形
【变式练习】
1、如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
2、如图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D、E为AC的中点，AD=DE=6 cm则∠ACD=（__________）°,AC=__________cm,∠DAC=(__________)°，△ADE是__________三角形．
变式练习1
变式练习2
3、如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由．
4、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．
例2、已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点.
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【变式练习】
1、（1）如图1，已知∠EOF=120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC=60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，则有AB=AC；
（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，已知∠AOC=∠BOC=∠BAC=60°，求证：①△ABC是等边三角形；②OC=OA+OB．
2、（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD．
（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是______（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；
（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．
例3、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．
【变式练习】
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，且DE =75px. 求BC的长
2、如图：等边三角形ABC的边长为100px，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒12.5px的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P
P
（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？
（2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点。
3、山的高度是100米，小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，那么共走了 m.
4、在三角形纸片ABC中，∠C=90° , ∠A=30° ,AC=3,折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、A C分别相交于点D和点E，折痕DE的长为 .
变式练习8
变式练习4
5、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高为 。
6、在等腰三角形ABC中，顶角为150°，腰长为20，求此三角形的面积.
7、如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？
8、在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3．8 cm，则BC等于_________．
P
例3、如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F。求证:BP=2PF
【变式练习】
1、如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，AB=3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F．
（1）求证：△ACD≌△BAE；
（2）请你过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．
例4、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．
【变式练习】
1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=DB．
2、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.
3、△ABC中，点D为AC的中点，∠DBC=90°，∠ABC=120°。证明：AB=2BC
4、如图，已知Rt△ABC中，AD⊥BC，∠ABC=2∠C，求证：AB+BD=CD．
例5、如图，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，DC=2BD．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：∠CAD=∠B．
【变式练习】
已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．
例6、如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？
【变式练习】
1、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为______．
2、如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．
（1）求证：PD=DQ；
（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．
3、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
4、如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若AB=150px，则CE=______cm．
解答：（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∵在△BCE和△ACD中
BC＝AC
∠BCE＝∠ACD
CE＝CD
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD；
（2）解：①②③都正确，
理由是：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中
BC＝AC
∠BCE＝∠ACD
CE＝CD
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∴②正确；
同理△FDC≌△BDE，
∴BE=CF，
∴BE=AD=CF，∴①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CEP=∠CDA，
∵∠CED=∠CDE=60°，
∴∠DEP+∠CEP=∠CED=60°=∠CDP+∠DEP，
∴∠DPE=180°-60°-60°=60°，
同理∠EPC=∠CPA=60°，即∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，∴③正确；
故答案为：①②③；
（3）证明：在PE上截取PM=PC，连接CM，
由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠1=∠2
设CD与BE交于点G，在△CGE和△PGD中，
∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD，
∴∠DPG=∠ECG=60°，
同理∠CPE=60°，
∴△CPM是等边三角形，
∴CP=CM，∠PMC=60°．
∴∠CPD=∠CME=120°．
∵∠1=∠2，
∴△CPD≌△CME（AAS），
∴PD=ME，
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD，
即PB+PC+PD=BE．
（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD
∴∠ACD=∠BCE （1分）
∴△ACD≌△BCE （2分）
∴AD=BE （3分）
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CDA =∠CEB （4分）
∵在等边△CDE中∠CED=∠EDC=60°
∴∠CED+∠EDC=120°
∴∠CEB+∠OED+∠CDE=120°
∴∠CDA+∠OED+∠CDE=120°
∴∠ODE+∠CED=120°（5分）
∴∠DOE =60° （6分）
（3）∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD =∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点
∴AM=AD，BN=BE
∴AM=BN
∴△ACM≌△BCN
∴CM=CN （7分）
∠ACM=∠BCN
又∠ACB=60°
∴∠ACM+∠MCB=60°
∴∠BCN+∠MCB=60°
∴∠MCN=60°（8分）
∴△MNC是等边三角形．
证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，
∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．
∵四边形ODEB是平行四边形，
∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．
∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．
∴△ABE≌△EDC．
∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．
∵BE∥AD，
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠EAD=∠ECD．
在△AFE和△CFD中
又∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEC=∠ADC=60°．
∴△ACE为等边三角形．
（2005•临沂）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．
求证：△ACE为等边三角形．
追问谢谢